که در آن جمله دوم مربوط به جابجایی ماتریس چگالی وهامیاتونی اختلالی است واز رابطه زیر به دست می آید:
(۱-۵۹)
دراین بخش تحول زمانی سیستم را در تصویر شرودینگر بحث کردیم، در حالی که گاهی اوقات، تصویر برهمکنش معادلات را ساده تر می کند. ارتباط بین معادلات حرکت ماتریس چگالی در دو تصویر شرودینگر و برهمکنش بصورت زیر می باشد:
(۱-۶۰)
که عناصر ماتریس چگالی در تصویر برهمکنش می باشند وطبق آن معادله لیوویل بصورت زیر در می آید :
(۱-۶۱)
از تصویر برهمکنش در بعضی موارد استفاده خواهیم کرد، اما در اینجا برای حل اختلالی معادلات حرکت ماتریس چگالی لازم است در همان تصویر شرودینگر بمانیم. بعداز ساده سازی معادله لیوویل می خواهیم آن را حل کنیم، اما همیشه قادر به حل تحلیلی این معادله نیستیم. برای حل آن، ماتریس اختلال را برحسب مرتبه های بزرگی اختلال بسط می دهیم و از به جای استفاده می کنیم، که مرتبه اختلال را نشان می دهد وعددی بین صفر تا یک را اختیار می کند. با این توصیف جوابی که برای معادله لیوویل به دست می آوریم نیز بصورت زیر خواهد بود:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۱-۶۲)
این جواب را در معادله لیوویل قرار می دهیم وضرایب هر توانی از در دو طرف تساوی را مساوی هم قرار می دهیم و در نتیجه داریم:
(۱-۶۳-الف)
(۱-۶۳-ب)
(۱-۶۳-پ)
و به همین ترتیب برای مراتب بالاتر ادامه می یابد. جواب حالت پایا می باشد. که در این حالت برابر صفر است و در رابطه برای صدق می کند.
برای به دست آوردن جواب مرتبه اول داریم
(۱-۶۴)
تغیر متغیر زیر را انجام می دهیم:
(۱-۶۵)
از این رابطه مشتق می گیریم
(۱-۶۶)
که اگر آن را مساوی دومین رابطه معادلات بالا قرار دهیم برای خواهیم داشت :
(۱-۶۷)
و با انتگرال گیری خواهیم داشت:
(۱-۶۸)
حال بدست آمده را در معادله بالای صفحه قرار می دهیم و را به دست می آوریم:
(۱-۶۹)
برای تصحیحات مرتبه های بالاتر عباراتی مشابه بدست می ­آید. در حالت کلی برای تصحیح مرتبه ام خواهیم داشت:
(۱-۷۰)
برای ساده سازی رابطه بالا، میدان اعمال شده را بصورت زیر نشان می دهیم:
(۱-۷۱)
همچنین اگر عبارت شامل جابجایی ظاهر شده در تصحیحات مرتبه اول را نیز ساده ترکنیم، خواهیم داشت:
(۱-۷۲-الف)
(۱-۷۲-ب)
حال اگر دو رابطه بالا را در معادله مربوط به قرار دهیم، در نهایت تصحیح مرتبه اول ماتریس چگالی را بصورت زیر یدست می آوریم:
(۱-۷۳)
به همین ترتیب با اعمال روابطی مشابه آنچه که برای تصصیح مرتبه اول ماتریس چگالی بکار بردیم، برای تصحیح مرتبه های دوم و سوم عمل می کنیم و در نهایت بدست می­آوریم
(۱-۷۴)
تکرار عبارت داخل دو آکولاد در مرتبه­های بالاتر معادلات حرکت ماتریس چگالی باعث می شود که برای مختصر نویسی آن را با نشان داده ایم ، با این وجود برای مرتبه سوم داریم
(۱-۷۵)
۱-۵ رابطه بین پذیرفتاری ، ضریب شکست غیر خطی و شدت:
توصیفی از ضریب شکست وابسته به شدت میدان می ­تواند درک ما از پدیده ­های که این ضریب شکست منجر به آن می­ شود عمیق تر کند.
ضریب شکست بسیاری از مواد را با رابطه زیر می توات توصیف کرد
(۱-۷۶)
که ضریب شکست عادی میدان ضعیف را نشان می دهد و کمیت جدیدی (گاهی اوقات ضریب شکست مرتبه دوم نامیده می شود ) است که آهنگ افزایش ضریب شکست با افزایش شدت نور را می دهد. براکتهای اطراف میانگین زمانی را می دهند. بنابراین اگر میدان نوری به شکل:
( ۱-۷۷)
باشد، بطوری که
(۱-۷۸)
بدست می آوریم
(۱-۷۹)
گاهی اوقات از مقایسه تغیر ضریب شکستی که با معادله () یا (( توصیف می شود با اثر قدیمی الکترواپتیک کر، که در آن تغیر ضریب شکست ماده متناسب با مربع قدرت میدان ایستای اعمال شده است، این تغیر اثر نوری کر نامیده می شود.
البته بر همکنش باریکه نور با یک محیط نوری غیر خطی را نیز برحسب قطبش غیر خطی می توان توصیف کرد. سهم غیرخطی قطبش که انتشار باریکه نور با بسامد را تحت تاثیر قرار می دهد، برابر است با:
(۱-۸۰)