قضیه ١.٣.۵. (قضیه تیخونوف ^[۹] ) حاصلضرب تعداد متناه از مجموعه های فشرده، فشرده است.
برهان. برای اثبات به [١٧] مراجعه شود.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

قضیه ١.٣.۶. فضاهای ((Σ_m,d و ((Σ⁺_m,d فضاهای متری فشرده م باشند.
برهان. م دانیم که مجموعه {A_m = {۱,۲,…,m ی مجموعه فشرده است و  حاصلضرب ازA_m است، بنابراین با توجه به قضیه تیخونوفΣ_m وΣ⁺_m فشرده م باشند.
گزاره ١.٣.٧. فرض کنیدω,ω′ ∈ Σ⁺_m)ω,ω′ ∈ Σ_m ) وn ∈ N .
، و بر ع سd(ω,ω′) ≤ ۲−ⁿ آن اه، (ω[۱,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,n] اگ
اگر ^۱−d(ω,ω′) ≤ ۲−ⁿ، آن اه [ω[۱,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,n) .برهان. ١) طبق تعریف داریم
d(ω,ω′) = ۲−^l s.t. l = ^min{ | ⁱ |: ω_i ̸= ^ω_i^′}.
.d(ω,ω′) = ۲−^l ≤ ۲−ⁿ در نتیجهmin{ | i |: ω_i ̸= ω_i^′} ≥ n پس باید،ω[−n,n] = ω′[−n,n] از طرف چون
٢) اگر وجود داشته باشدn ≤ j ≤ n − ^{بهطوریکه} ′ω_j ̸= ω_j، در اینصورت |d(ω,ω′) ≥ ۲−|^j. از طرفj ≤ n لذا ^۱−d(ω,ω′) ≥ ۲−|^j| ≥ ۲−ⁿ و این با فرض در تناقض است.
تعریف ١.٣.٨. ن اشتσ _{: Σm} → Σ_m را که بهصورت زیر تعریف شده است را ن اشت انتقال دوطرفه م نامیم.
σ((ωi)i∈Z)j = ωj+1.
ن اشت انتقال ی طرفه نیز بهطور مشابه تعریف م شود.
σ  + → +
١.٣. دینامی نمادین ۵١گزاره ١.٣.٩. ن اشتσ ی ن اشت پیوسته رویΣ⁺_m م باشد. بهعلاوه ن اشتσ رویΣ_m ی همیومورفیسماست.
برهان. برای اثبات به [١] مراجعه شود.
تعریف ١.٣.٠١. سیستم دینامی ₍(Σ⁺_m,σ را فضای انتقال ی طرفه و ₍(Σ_m,σ را فضای انتقال دوطرفه م نامیم.نمادگذاری: اگرω ∈ Σ⁺_m)ω ∈ Σ_m ) از ت رار ی کلمه تش یل شده باشد، یعن کلمهای مانندω_۱,ω_۲,…,ω_n
موجود باشد بهطوریکه …ω = …ω_۱ω_۲…ω_nω_۱ω_۲…ω_n، آن اه بدیه است کهσⁿ(ω) = ω . یعن اعضای که از
ت رار ی کلمه به دست م آیند، نقاط تناوب سیستمهای ₍(Σ_m,σ و ₍(Σ⁺_m,σ را تش یل م دهند. در این حالتω را بهصورت زیر نمایش م دهیم
ω = ω_۱,ω_۲,…,ω_n.
قضیه ١.٣.١١. ن اشت انتقال ی طرفهσ : Σ⁺_m → Σ⁺_m دارای خواص زیر م باشد.
ن اشتσ دارایmⁿ نقطه تناوب با تناوبn م باشد.
مجموعهی نقاط تناوبσ درΣ⁺_m چ ال م باشد.
یω ∈ Σ⁺_m وجود دارد بهطوریکه (Σ⁺_m = O(ω,σ.
برهان. ١) اثبات این قسمت واضح است.
فرض کنیدω ی عضو دلخواه از مجموعهΣ⁺_m باشد و ۰r > . همسای (B(ω,r را در نظر ب یرید.هن ام که _۰r > باشد، م توانیمl ∈ N را طوری اختیار کنیم که^l _{< r} −۲. اکنون نقطه تناوب ′ω را بهصورت زیرم سازیم
ω′ = ω_۱,ω_۲,…,ω_l.
بدیه است کهd(ω,ω′) < ۲−^l < r . یعن
ω^′ ∈ B(ω,r) ⇒ σ^l(ω′) ∈ B(ω,r).
چون همسای ₍B_(ω,r دلخواه بود، پس نقاط تناوب ن اشتσ درΣ⁺_m چ ال م باشند.
مجموعهی تمام کلمههای متناه را در نظر م گیریم. از چسباندن این کلمه ها کنار هم ( یعن از قراردادن این کلمه ها پشت سر هم ) بدون اتخاذ هرگونه ترتیب خاص ، عنصری که بهدست م آید دارای مداری پیشروچ ال م باشد. زیرا اگر مانند آنچه در اثبات قسمت (٢) بیان گردید، همسای دلخواه ₍B_(ω,r ازω را در نظرب یریم، هن ام که _۰r > باشد، م توانیمl ∈ N را طوری اختیار کنیم که^l _{< r} −۲. واضح است که زمان مانند
t م رسد که در این زمان ت رارl - امω تحتσ ، شامل کلمهیω_۱ω۲…ωl است که بهترتیبω_i ها پشت سر همقرار م گیرند و ازω_l بهبعد، هر کلمهای با هر ترتیب م تواند باشد. لذا طبق گزاره ٧.٣.١ داریم
∃t s.t. σ^l(_lω) = ω_۱ω_۲…ω_l…,
⇒⇒ ωd(l[0ω,σ,l] =_l(ωσ))(<ω)[۰۲−,l_l ]_<, _r,
⇒ σ (ω) ∈ B(ω,r).
١. خلاصه مباحث از سیستمهای دینامی ۶١
یعن ت رار مثبت ازω تحتσ پیدا کردیم که در ی همسای دلخواه مانند ₍B_(ω,r قرار گرفت و این نشان
م دهد که (Σ⁺_m = O(ω,σ.
فصل ٢

سیستمهای دینامی زمانپیوسته

١ . ٢ سیستمهای دینامی و دست اههای معادلات دیفرانسیل خط
٢ . ٢ بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی

١.٢ سیستمهای دینامی و دست اههای معادلات دیفرانسیل خط

از آنجاکه نحوهی رفتار نقاط ی سیستم دینامی در اطراف نقاط جاذب و دافع آن حائز اهمیت است، لذا در اینفصل با به تصویر کشیدن حالتهای مختلف منحن های فازی ی دست اه معادله دیفرانسیل خط ، م توان حرکتنقاط به سمت نقاط جاذب و دافع ی سیستم را شبیه سازی نمود. برای این منظور از [۵] بهره م گیریم.
همانطور که در فصل قبل مشاهده کردیم، سیستم دینامی چیزی جز اثر ی نیم گروه یا گروه تولید شدهتوسط ی ن اشت روی فضای توپولوژی یا متری نم باشد. اکنون نمایش دی ر برای ی سیستم دینامی ارائهخواهیم کرد که این نمایش ما را از سیستمهای دینامی زمانگسسته به پیوسته م رساند.
فرض کنید (X,d) ی فضای متری وf : X → X ی ن اشت پیوسته رویX باشد، سیستم دینامی
_(X,f) را م توانیم با ن اشت زیر نمایش دهیم
φ : N0 × X → nX ;N0 = N ∪ {۰}
(n,x) 7→ f (x)که در شرایط زیر صادق است
١. برای هرφ(۰,x) = x ،x ∈ X ، و
٢.برای هرx ∈ X و ۰φ(s,φ(t,x)) = φ(s + t,x) ،s,t ∈ N.اگرf مع وسپذیر باشد م توانیم به جای ۰N ازZ استفاده کنیم، یعن