در اینجا ، و یک اندازه ی لوی است با این ویژگی که و
(تابع را نمای لاپلاس^[۳۹] فرایند تبعی می نامند). [۸و۲۴]
یک کاربرد مهم فرایندهای تبعی در تغییر مقیاس زمانی فرایندهای لوی است.
۲-۳-۳ قضیه: فضای احتمال را در نظر می گیریم. اگر یک فرایند لوی با نمای مشخصه ی و یک فرایند تبعی مستقل از با نمای لاپلاس و سه تایی باشد ، آن گاه فرایند
یک فرایند لوی می باشد که تابع مشخصه ی آن

است و دارای سه تایی مشخصه ی با
است که در آن ها توزیع احتمال است.[۲۴]
روش ارائه شده در قضیه ی بالا ، اولین بار در دهه ی ۱۹۵۰ توسط بوخنر^[۴۰] مطالعه گردید و به این دلیل گاهی آن را به افتخار او « تبعی سازی به معنای بوخنر » می نامند.[۱]
دو نوع از فرایندهای لوی ، که دارای کاربرد زیادی در مدل های مالی دارای پرش هستند را در ادامه بررسی خواهیم
کرد: گروه اول، مدل های از نوع دیفیوژن پرشی^[۴۱] و گروه دوم ، مدل های با فعالیت نامتناهی^[۴۲].
۲-۳-۴ تعریف(مدل های از نوع دیفیوژن پرشی): این مدل ها، یک فرایند لوی با یک مولفه ی گاوسی غیر صفر و بخش پرشی با پرش های متناهی هستند و دارای فرم زیر هستند:
که در آن ها هم توزیع و مستقل از یکدیگرند، مولفه ی گاوسی و یک فرایند پواسون و مستقل از ها است. از جمله خواص مهم این نوع مدل ها این است که ، توزیع اندازه پرش های آنها شناخته شده است.[۲۴]
مدل مرتون^[۴۳]، یک مدل دیفیوژن پرشی است[۲۴]: پرش های در ارزش- لگاریتمی دارای توزیع لگاریتمی است یا به عبارت دیگر و چگالی احتمال به صورت
۲-۳-۵ تعریف(مدل های با فعالیت نامتناهی یا با نرخ نامتناهی): این مدل ها لزوماً دارای مولفه ی حرکت براونی نیستند و در هر بازه تعداد نامتناهی پرش وجود دارد. در این نوع مدل ها، توزیع اندازه ی پرش ها وجود ندارد و فرم بسته ی چگالی آن ها در بعضی از موارد در دسترس است[۲۴].
مدل واریانس گاما^[۴۴]، یک مدل با فعالیت نامتناهی است[۲۴]. فرایند واریانس گاما از تبعی نمودن حرکت براونی با تبعی کننده ی گاما به دست می آید .( در واقع با جایگزین کردن فرایند گاما به جای زمان در ) تابع مشخصه یا نمای مشخصه ی این مدل به صورت زیر است:
که در آن تلاطم ، رانش حرکت براونی و واریانس تبعی کننده ی آن(یعنی واریانس فرایند گاما) می باشند و همچنین چگالی اندازه ی لوی این مدل به صورت زیر
نمایش داده می شود، جایی که c= و
هنگامی که توزیع تغییرات یا پرش های یک فرایند لوی ناشناخته باشد دانش دقیقی از تصویر مسیرهای نمونه ای آن در دست نیست. . در واقع با یک مدل با فعالیت نامتناهی روبرو هستیم ، که در این حالت ، این مدل را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی تقریب زد .
گیریم یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی باشد ، که دارای سه تایی مشخصه ی است . هدف ، پیدا کردن یک فرایند پواسون ترکیبی است، که فرایند اولیه ی را تقریب می زند. البته این تقریب تحت برخی حالت های خاص به دست خواهد آمد.
با توجه به تجزیه ی لوی- ایتو ، فرایند را می توان به صورت مجموع یک فرایند پواسون ترکیبی و یک حد (تقریباً همه جا) از یک فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ، تجزیه کرد، یعنی

که در آن
تعریف شده در بالا را می توان به وسیله ی فرایند تخمین زد ، وقتی که

خطای این تقریب به صورت زیر است:
ثابت می شود(بخش ۶٫۳ [۲۴]) ، یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی است و .
اگر پرش های کوچک فرایند لوی ، با تغییرات کراندار باشد ، آن گاه می توان فرایند را به صورت زیر تجزیه کرد[۲۴] :که در این حالت نیاز به عبارت فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ی آن نداریم. می توان را به وسیله ی تقریب زد ، که در آن
فرایند یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی است که پرش های آن کراندار می باشند . در نتیجه واریانس نیز متناهی است ، یعنی:
کیفیت تقریب بستگی به سرعت همگرایی به صفر دارد ، وقتی که . برای اثبات مطالب بالا می توان به [۲۴]مراجعه کرد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اگر تعداد پرش های خیلی زیادی وجود نداشته باشد، آن گاه تقریب فرایند پواسون ترکیبی برای فرایند لوی دقت خیلی بالایی دارد . در این قسمت یک تقریب را ارائه خواهیم داد که دقت تقریب پواسون ترکیبی را ، با جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی بالا خواهد برد. در واقع اگر تعداد پرش های کوچک خیلی زیاد باشد ، تقریب فرایند لوی به وسیله ی یک فرایند پواسون ترکیبی و جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی ، مکمل یکدیگرند. در این قسمت فرض می کنیم پرش های کوچک ، فرایند خیلی زیاد (نامتناهی) باشند.[۲۴]
۲-۳-۵ قضیه: اگر فرایند خطای نرمال سازی شده باشد ، آن گاه این فرایند در توزیع به حرکت براونی همگراست و شرط همگرایی آن می باشد( یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس ۱ است). [۲۴و۳۸]
با توجه به (۲) ، (۳) و (۴) داریم :
همچنین بنابر قضیه ی (۲٫۳٫۴) ، به جای تقریب (۳)می توان از تقریب زیر استفاده کرد:
قضیه ی زیر یک کران بالا را برای تقریب (۵) ارائه می دهد .
۲-۳-۶ قضیه: اگر یک تابع مشتق پذیر با مشتق کراندار باشد به طوری که برای ثابت باشد،
آن گاه:
که در آن و یک ثابت است که در شرط صدق می کند.
اثبات: (قضیه ی ۶٫۲ [۲۴]).
فصل سوم
ارزش گذاری اختیار معاملات و ارتباط آنها با معادلات
در سال های اخیر، بازارهای اوراق اختیار معامله، در دنیای مالی سرمایه گذاری، اهمیت روزافزونی پیدا کرده است. از این رو نحوه ی قیمت گذاری اختیار معاملات یکی از مسائل مهم در بازارهای مالی می باشد. سوال اساسی این است که آیا بازار مالی بهای یگانه ای را برای اختیار معاملات تعیین می‌کند و اگرپاسخ مثبت است، آیا می‌توان این بهای یگانه را محاسبه کرد. توجه به این مسأله تا حد زیادی مربوط به نتایج بلک^[۴۵]، شولز^[۴۶] و مرتون^[۴۷] در دهه ۱۹۷۰ است، که با دادن پاسخ مثبت به این سوال جایزه‌ی نوبل در اقتصاد را از آن خود کردند. همچنین این مدل نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه‌ های ۱۹۸۰ و ۱۹۹۰ داشته است[۱۵]. الگوی بلک- شولز- مرتون با وجود زیبایی و ارزش نظری آن، دارای محدودیت‌ها و کمبودهایی است که منجر به سوال برانگیز شدن آن شده است. یکی از عمده‌ترین این موارد مشاهده‌ی رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. این با مدل گاوسی مطابقت ندارد و لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در این بخش هدف اصلی ما ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع تحت فرایندهای لوی است.
۳-۱ ساز و کار بازارهای اختیار معامله
در این پایان نامه در مورد قراردادهای اختیار معامله‌ی سهام بحث خواهیم کرد. همان طور که در فصل اول ذکر شد، به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد:
(۱) «قرارداد اختیار خرید» (۲) «قرارداد اختیار فروش»
خریدار اختیار خرید امیدوار است که قیمت سهم افزایش یابد، در حالی که خریدار اختیار فروش انتظار دارد که قیمت سهام کاهش یابد، اکنون می‌خواهیم با توجه به تصادفی بودن قیمت دارایی پایه (سهم) در تاریخ سررسید، بازده یا ارزش نهایی سرمایه گذار در اختیار معامله‌های اروپایی و توأم با مانع را در حالت کلی بیان کنیم. اگر را قیمت توافقی و را قیمت دارایی پایه در زمان سررسید بدانیم، بازده حاصل از اختیار خرید اروپایی عبارت است از:
رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان ‌می‌دهد که اگر باشد، اختیار معامله اعمال نخواهد شد و در غیر این صورت، یعنی اگر باشد، اختیار معامله اعمال خواهد شد. به همین منوال بازده سرمایه گذاری در قرارداد اختیار فروش اروپایی به صورت زیر می‌باشد: