MML، احتمال مشاهده یک الگوی پاسخ را در جامعه مدل­سازی می­ کند. برای هر الگوی پاسخ منحصر به فرد می­توان یک احتمال یعنی X_p را مدل­سازی کرد. افرادی که این الگو را ایجاد می­ کنند. به عنوان مکرر یا همتا تلقی می­شوند. تعداد افرادی که دارای این الگو هستند با n_p نشان داده می­شوند. برای یک سطح صفت خاص θ_q، احتمال یک الگوی پاسخ­دهی را می­توان با بهره گرفتن از مدل IRT مانند معادله‏۳‑۱۶ محاسبه کرد. اگرچه سطوح صفت برای افراد مشاهده شده نامعلومند، ولی فرض می­ شود احتمال­های سطوح مختلف یعنی p(θ_q) مشخص­اند. ممکن است از پیش معلوم باشد که توزیع نمره­ها نرمال و دارای میانگین واریانس مشخص است و یا ممکن است یک توزیع به صورت تجربی از داده ­های آزمون محاسبه شود. در هر دو صورت، برای سطوح مختلف صفت احتمال­ها مشخص می­شوند. برای مثال، فرض­ کنید احتمال هر سطح صفت را می­توان از روی توزیع جامعه تعیین کرد و در این صورت، احتمال مشاهده یک الگوی خاص پاسخ در یک نمونه تصادفی از جامعه، یعنی p(X_p|β)، شامل موارد زیر است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

احتمال الگو تحت θ_q
احتمال مشاهده سطح صفت در جامعه، P(θ_q)
سطوح صفت گسسته احتمالی به صورت معادله‏۳‑۲۱ جمع می­ شود.

فرض کنید توزیع جامعه از ۵ سطح گسسته ۲-، ۱-، ۰، ۱، ۲ به ترتیب با احتمال­های ۰۵۵/۰، ۲۴۴/۰، ۴۰۳/۰، ۲۴۴/۰ و ۰۵۵/۰ تشکیل شده است. در این صورت، درست­نمایی یک الگوی خاص پاسخ (مانند یک الگوی پاسخ­دهی ART که در آن ۰، ۰، ۰، ۱، ۰، ۱، ۱، ۱، ۱، ۱ =X_s است) در جامعه به صورت زیر است.
در آن احتمال هر الگوی پاسخ­دهی، از مدل IRT مانند معادله‏۳‑۱۶ محاسبه می­ شود. البته منطقی­تر است به جای آن که توزیع صفت را به صورت مجموعه ­ای از اندازه­ های گسسته در نظر بگیریم، فرض کنیم سطح صفت در جامعه یک متغیر پیوسته و به شکل توزیع نرمال است. در عمل، روشی که به انتگرال­گیری گاووسی معروف است برای یافتن اندازه­ های مورد انتظار به کار می­رود.
روش انتگرال­گیری گاووسی شبیه تقسیم یک توزیع نرمال به بخش­هایی با یک اندازه معرف (یعنی نقطه انتگرال­گیری ) و احتمال وقوع (یعنی وزن) است. شکل ‏۳‑۱۰ یک توزیع نرمال سطح صفت را که به ۵ بخش تقسیم شده است نشان می دهد. اگر حدود فواصل بخش را تعریف کنند، مانند آنچه که در شکل ‏۳‑۱۰ نشان داده شده است، احتمال­های منحنی نرمال مربوطه به پنج بخش که به ترتیب ۰۶۷/۰، ۲۴۱/۰، ۳۸۳/۰، ۲۴۱/۰ و ۰۶۷/۰ است، به وزن­های انتگرال­گیری نزدیک­اند. با افزایش تعداد نقاط انتگرال­گیری، وزن­ها به طور دقیق تری به احتمال­های توزیع نرمال استاندارد نزدیک می­شوند. به طور رسمی­تر، احتمال به دست­ آوردن یک بردار پاسخ خاص X_p، در یک نمونه تصادفی از جامعه، از طریق انتگرال­گیری از پیش ­بینی مدل IRT در سرتاسر دامنه سطح صفت در معادله‏۳‑۲۲ محاسبه می­ شود. در این معادله چگالی احتمال ، یعنی توانایی مکنون است.

شکل ‏۳‑۱۰ : انتگرال­گیری گاووسی با پنج نقطه.
درست­نمایی داده ­ها
درست­نمایی داده ­ها را می­توان بر اساس حاصل­ضرب درست­نمایی­ها الگوی پاسخ در بین آزمودنی­ها به دست آورد. MML مدل کل جامعه برای الگوهای خاص پاسخ­های مشاهده شده است. لگاریتم درست نمایی داده ­ها در MML، مجموع احتمال­های کناری الگوهای پاسخ­دهی (از معادله‏۳‑۲۱) است که در فراوانی های شان ضرب شده ­اند(np) و به صورت معادله ‏۳‑۲۳ است.

لازمه MML آن است که سطح توزیع صفت مشخص شود. مطابق معمول، توزیع به صورت نرمال مشخص می­ شود. اما لزومی ندارد که توزیع از قبل مشخص باشد. اگر حجم نمونه کافی در دسترس باشد، می­توان توزیع صفت را از روی داده ­ها برآورد کرد و یا توزیع­های غیر نرمال دیگر را، در صورتی که مناسب باشند، می­توان مشخص کرد.
روش: روش MML بک و ایتکن (۱۹۸۱)، الگوریتم EM را برای برآورد پارامترهای سوال به کار می­برد. الگوریتم EM از آن جهت به این نام شناخته می­ شود که دارای یک مرحله مورد انتظار (E) و یک مرحله بیشینه­سازی (M) است. در مرحله مورد انتظار، تعداد افراد مورد انتظار در هر سطح صفت (که توسط نقاط انتگرال­گیری مشخص می­ شود) و همچنین تعداد افراد مورد انتظاری که به هر سوال خاص پاسخ می دهند،محاسبه می­ شود. سپس، با بهره گرفتن از این اندازه­ های مورد انتظار در معادله­های برآورد، پارامترهای سوال برآورد می­ شود، به گونه ­ای که درست­نمایی­ها را در مرحله بیشینه­سازی به حداکثر برسانند. آنگاه در دومین مرحله مورد انتظار، پارامترهای سوال برای محاسبه مقادیر مورد انتظار جدید به کار می رود و در مرحله بیشینه­سازی دیگر درست­نمایی داده ­ها بر اساس مقادیر مورد انتظار جدید بیشینه می­شوند. وقتی که اندازه­ها همگرا شدند، با بهره گرفتن از روش نیوتن-گاوس برآوردهای نهایی پارامتر سوال و خطاهای استاندارد به دست می آید.
ارزیابی: MML دارای چند مزیت است. نخست، MML را برای تمام انواع مدل­های IRT، از جمله مدل های چند بعدی به آسانی می­توان به کار برد. دوم،MML برای هر دو نوع آزمون­های طولانی و آزمون های کوتاه کارآمد است. سوم، برآوردهای MML از خطاهای استاندارد سوال­ها را می­توان به عنوان تقریب خوبی از واریانس نمونه گیری مورد انتظار برآوردها توجیه کرد. چهارم، برای نمره ­های کامل نیز برآوردهایی به دست می­آیند. هیچ­گونه اطلاعاتی درباره آزمودنی­ها از بین نمی­رود زیرا پاسخ­های کامل نیز دارای فراوانی نسبی مورد انتظار هستند. لازم نیست که سوال­ها اصلاح شوند،به ویژه اگر بتوان توزیع پارامترهای سوال­ها را نیز مشخص کرد. پنجم: درست­نمایی داده ­های MML را می­توان برای توجیه فرضیه آزمایی و شاخص­ های برازش به کار بست. اگر یک مدل زیر مجموعه ­ای از یک مدل بزرگتر باشد، آزمون نسبت درست­نمایی مجذور کای می ­تواند مشخص کند که آیا مدل­ها به گونه معنی­داری با هم تفاوت دارند یا ندارند.
البته MML چند نقطه ضعف دارد. نخست، برنامه­ ریزی برای یک الگوریتم کارآمد به منظور برآورد MML دشوار است. برنامه ­های کارآمد کامپیوتری باید هم از نظرمحاسباتی و هم از نظر عددی پیشرفته باشند. اما برخلاف این نقطه ضعف، در حال حاضر برنامه ­های IRT برای مدل­های جدیدتر و پیچیده­تر، به طور فزاینده ای در مورد MML به کار می­روند. دوم، باید برای سطح صفت یک توزیع فرض شود، در نتیجه برآورد پارامترها به مناسب بودن این توزیع مفروض بستگی خواهد داشت. اما این نکته که آیا این یک نقطه ضعف بزرگ است یا نه کاملاً روشن نیست. لازم نیست توزیع فرض شده نرمال باشد و در واقع می­توان آن را از داده ­ها برآورد کرد. توزیع­های مختلف سطح صفت که کجی یا کشیدگی غیرنرمال دارند را نیز می­توان با تعیین وزن­هایی با مدل­های IRT انطباق داد. علاوه بر این به نظر می­رسد که برآوردهای پارامتر سوال، در مواردی که توزیع نمره­ها با توزیع نرمال تفاوت متوسط دارند، از این تفاوت چندان تاثیر نمی­پذیرند، بنابراین توزیع­هایی که نامناسب تشخیص داده شده ­اند چندان مهم نیستند.
بیشینه درست­نمایی شرطی (CML)
در برآورد CML، سطوح صفت نامعلوم را با بیان احتمال الگوی پاسخ­دهی بدون گنجاندن پارامترهای سطح صفت می توان بررسی کرد. این کار در صورتی امکان­ پذیر است که برای برآورد سطح صفت یک آماره مکفی در داده ­ها موجود باشد. در مدل راش، نمره ­های کل افراد در سوال­ها آماره­ای مکفی برای محاسبه سطح صفت به شمار می­رود. آماره مکفی به این معناست که برای برآورد پارامترها به هیچ اطلاعات دیگری درباره داده ­ها نیازی نیست. در نتیجه، افرادی با نمره کل یکسان (یعنی، آماره مکفی)، صرف نظر از اینکه به کدام سوال­ها پاسخ درست داده­اند، برآورد سطح صفت یکسانی را دریافت می­ کنند. در مدل­های پیچیده­تر، مانند ۲PL و ۳PL، نمره کل یک آماره مکفی برای برآورد سطح صفت محسوب نمی­ شود. در این مدل­ها برآوردهای سطح صفت به این بستگی دارد که به کدام سوال­ها پاسخ درست داده شده است. بنابراین، چون CML برای برآورد سطح صفت نیازمند آماره­ های بسنده است، این روش تنها در مورد مدل راش و زیر شاخه­ های آن به کار می­رود. همانند برآورد JML، پارامترهای شخص به عنوان اندازه­ های ثابت محسوب می­شوند.
درست­نمایی الگوی پاسخ
درCML، درست­نمایی الگوی پاسخ­دهی p(X_s |θ , β)، به گونه ­ای صورت بندی مجدد می­ شود که به جای سطح صفت نامعلوم شخص یعنی θ_s ، کل نمره را شامل شود. اکنون در الگوی پاسخ یعنی X_s به طور ضمنی دو نوع آگاهی وجود دارد: به تعداد معینی از سوال­ها پاسخ درست داده شده است که نمره کل r_s را به دست می دهد و سوال­های خاصی که درست یا غلط پاسخ داده شده ­اند. در CML، دومین نوع آگاهی که از الگوی پاسخ­دهی گرفته می­ شود، به برآورد سطح صفت بی­ارتباط است؛ نمره کل یک آماره مکفی است.
روش برآوردCML بر پایه تحلیل بردار پاسخ p(X_s |θ_s , β) به دو عبارت استوار است. (الف) احتمال نمره کل، با داشتن سطح صفت و پارامترهای سوال P(r_s , , θ_s , β) و (ب) احتمال یک الگوی خاص پاسخ­دهی، با داشتن نمره کل و پارامترهای سوال یعنی p(X_s |r_s , β)، این معادله به صورت زیر بیان می­ شود.

احتمال الگوی پاسخ­دهی در عبارت­هایr_s و پارامترهای سوال با تنظیم مجدد معادله ‏۳‑۲۴ به صورت زیر است.