مثال دوم: یک فرایند تک متغیره ذیل را با تعریف در نظر بگیرید.
میتوان معادله حالت و مشاهدات این فرایند را به صورت زیر نوشت:
معادله حالت :
معادله مشاهدات :
ب-۳- استخراج فیلتر کالمن
یک سیستم حالت-فضا با معادلات (ب-۱)، (ب-۲)، (ب-۳) و (ب-۴) را در نظر بگیرید. به فرض اینکه مشاهدات به ازا داده شده اند، هدف بدست آوردن پارامترهای ، ، ، و و استنتاج در مورد بردار حالت است. در اینجا ابتدا به فرض اینکه پارامترهای مذکور از قبل معلوم هستند به توضیح فیلتر کالمن میپردازیم، سپس به تخمین این پارامترها به روش حداکثرسازی تابع راستنمایی با این فرض که توزیع شرطی به شرط مقادیر گذشته و نرمال است، میپردازیم.
فیلتر کالمن یک الگوریتم برگشتی متوالی برای بهنگامسازی بردار حالت با توجه به اطلاعات گذشته است؛ یعنی:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(ب-۱۳)
ماتریس میانگین مجذور خطای (MSE)[363] متناظر با هر یک از این پیش بینیها به صورت زیر است:
(ب-۱۴)
فیلتر کالمن این پیش بینیها را به صورت بازگشتی با ایجاد سری‌های انجام میدهد. پیش بینی بر اساس مشاهدات زمان صفر، همان میانگین غیرشرطی است؛ یعنی: و ماتریس MSE متناظر با آن به صورت خواهد بود. وقتی که مقادیر ویژهی ماتریس داخل دایره واحد قرار بگیرد، در معادله (ب-۱) در واریانس مانا میباشد و میانگین غیرشرطی آن برابر صفر می شود. واریانس غیرشرطی به صورت زیر است:
(ب-۱۵)
اگر ماتریس واریانس-کوواریانس را با نشان دهیم معادله زیر را خواهیم داشت:
(ب-۱۶)
از حل معادله بالا داریم[۳۶۴]:
(ب-۱۷)
چنانچه ماتریس MSE متناظر با وقتی که مقادیر ویژهی ماتریس داخل دایره واحد باشد، خواهیم داشت:
(ب-۱۸)
و وقتی یکی از مقادیر ویژه آن روی دایره واحد یا خارج از آن باشد، بجای بهترین حدس اولیه از را قرار میدهیم.
ب-۴- پیش بینی
با شروع از و برای زمان‌های ، و را حساب میکنیم. حال به فرض اینکه و داده شده باشد، هدف محاسبه و است که در ادامه به آن خواهیم پرداخت.
از آنجا که ما فرض کردهایم که با بردار متغیرهای برونزای و از قبل معلوم نا همبسته است، لذا داریم:
(ب-۱۹)
با توجه به تعریف پیش بینی مقدار به صورت و رابطه که از معادله (ب-۲) نتیجه می شود و بنا بر قانون پروجکشن تکراری[۳۶۵] داریم:
(ب-۲۰)
با توجه به معادله (ب-۲)، خطا و MSE این پیش بینی به ترتیب عبارت است از:
(ب-۲۱)
(ب-۲۲)
و با توجه به معادلات (ب-۱۴) و (ب-۴)، معادله (ب-۲۲) برابر خواهد بود با: .
ب-۵- به هنگام کردن
حال قدم بعدی این است که مقدار را با توجه به مشاهدات به هنگام کنیم، پس داریم:
(ب-۲۳)
این رابطه را با توجه به فرمول به هنگام سازی یک پیش بینی خطی[۳۶۶] به صورت زیر مینویسیم:
(ب-۲۴)
با توجه به اینکه و با جایگذاری رابطه (ب-۲۲) و (ب-۲۰) در رابطه (ب-۲۴) داریم:
(ب-۲۵)
و MSE متناظر با این به هنگام سازی را با نشان میدهیم و به صورت زیر است:
(ب-۲۶)
ب-۶- پیش بینی
از معادله (ب-۱) برای پیش بینی استفاده می شود:
(ب-۲۷)
با جایگذاری رابطه (ب-۲۷) بجای :
که در تساوی بالا به ماتریس گین[۳۶۷] معروف است که با نمایش داده می شود؛ و ماتریس MSE متناظر با این پیش بینی به صورت زیر است:
(ب-۲۸)
با جایگذاری رابطه (ب-۲۶) بجای خواهیم داشت:
پس به طور خلاصه فیلتر کالمن با میانگین و واریانس غیر شرطی شروع می شود یعنی:
(ب-۲۹)
(ب-۳۰)
که به صورت و ارائه می شود. همچنین معادلات (ب-۲۷) و (ب-۲۸) به ترتیب بهترین تخمین و MSE متناظر آن را نشان میدهد و پیش بینی و MSE متناظر با آن نیز از رابطه زیر بدست می آید:
(ب-۳۱)
(ب-۳۲)
ب-۷- برآورد پارامترهای مدل به روش حداکثر راستنمایی
