واریانس این برآوردگر برابر است با :

که در آن ضریب را معمولاً ضریب کاهش در نمونه‌گیری بدون جایگذاری می‌نامند. همچنین کسر کسر نمونه‌گیری و -f1 ضریب تصحیح نمونه‌گیری بدون جایگذاری نامیده می شود.
معمولاً در جامعه‌های بسیار بزرگ، که حجم نمونه در مقایسه با حجم جامعه ناچیز است، می‌توان از کسر نمونه‌گیری چشم ‌پوشی کرد.
برای درک بهتر طرح نمونه گیری تصادفی ساده به شکل زیر توجه نمایید. در این شکل جامعه ی مورد نظر برای نمونه گیری تصادفی ساده به ۴۰۰ واحد مربع شکل تقسیم شده و یک نمونه تصادفی شامل ۴۰ واحد از آن انتخاب شده است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

شکل ۱-۱ نمونه گیری تصادفی ساده به اندازه ۴۰ از جامعه ۴۰۰ واحدی
طرح نمونه گیری طبقه ای^[۲۶]
در برخی مواقع جامعه به زیرجامعه هایی ناهم پوشا تقسیم می شود . اصطلاح ناهم پوشا بر این مطلب دلالت دارد که هر عنصر جامعه تنها و تنها درون یکی از زیرجامعه ها قرار دارد. هریک از این زیر جامعه ها یک طبقه نامیده می شود. چنانچه یک نمونه ی احتمالی درون هر طبقه انتخاب شود، به طوری که انتخاب ها بین طبقات، مستقل از یکدیگر باشند، آن گاه نمونه ی به دست آمده را یک نمونه ی طبقه ای و طرح مولد آن را یک طرح نمونه گیری طبقه ای می نامند. نمونه گیری طبقه ای روشی قدرتمند و انعطاف پذیراست که به شکل گسترده مورد استفاده قرار می گیرد.
برای درک بهتر طرح نمونه گیری تصادفی طبقه ای به شکل ۱-۲ توجه نمایید. در این شکل جامعه ی مورد نظر که شامل ۴ طبقه است برای نمونه گیری طبقه ای به ۴۰۰ واحد مربع شکل تقسیم شده است. حجم طبقه اول ۲۰۰ واحد مربع شکل، حجم طبقه دوم ۱۰۰ واحد مربع شکل و حجم طبقات سوم وچهارم هر کدام ۵۰ واحد مربع شکل در نظر گرفته شده است. یک نمونه تصادفی شامل ۴۰ واحد از بین طبقات این جامعه به صورت تصادفی ساده بدون جایگذاری انتخاب شده است. در واقع از طبقه اول نمونه ای به حجم ۲۰ واحد مربع شکل تیره، از طبقه دوم نمونه ای به حجم ۱۰ واحد مربع شکل تیره و از هر یک از طبقات سوم و چهارم نمونه ای به حجم ۵ واحد مربع شکل تیره انتخاب شده است. بر این اساس مجموعه واحدهای مربع شکل تیره نمونه ی انتخابی از این جامعه است.

شکل ۱-۲ نمونه گیری تصادفی طبقه ای
۱-۳-۱ طبقه بندی پسین^[۲۷] (طبقه بندی پس از نمونه گیری)
در برخی مواقع که نمونه ی احتمالی بر اساس یک طرح نمونه گیری تصادفی ساده صورت
می پذیرد، می توان در مرحله برآورد از روش های مربوط به نمونه گیری تصادفی طبقه ای استفاده نمود. این استراتژی که از طرح نمونه گیری تصادفی ساده، و برآورد طبقه ای تشکیل شده است را طبقه بندی پس از نمونه گیری، یا طبقه بندی پسین می نامند. کارآیی این استراتژی در مقایسه با استراتژی طرح نمونه گیری تصادفی طبقه ای و برآورد متناظر آن چندان کم نیست .برای استفاده از روش طبقه بندی پسین لازم است به همراه متغیر مورد مطالعه، متغیر طبقه ای هر واحد نمونه نیز اندازه گیری و ثبت شده باشد، همچنین حجم کل طبقات جامعه نیز معلوم باشد.
طرح نمونه گیری مضاعف ^[۲۸]
درشرایطی که هزینه ی جمع آوری اطلاعات در مورد متغیر کمکی به مراتب کم تر از هزینه ی جمع آوری اطلاعات در مورد متغیر مورد مطالعه باشد، طرح نمونه گیری مضاعف مورد استفاده قرار می گیرد. اگر میانگین جامعه ی کمکی یعنی نامعلوم باشد نمی توانیم از روش برآورد نسبتی استفاده کنیم. در چنین وضعیتی از طرح نمونه گیری مضاعف یا طرح نمونه گیری دو فازی ^[۲۹] استفاده می شود. در این طرح ابتدا در فاز اول، نمونه ای اولیه به روش تصادفی ساده با حجم از جامعه ی متغیرهای کمکی X گرفته می شود. در فاز دوم، از نمونه ی اولیه زیر نمونه ای به حجم n به تصادف از نمونه ی کمکی X ها گرفته و سپس واحدهای متناظر آن ها از متغیر مورد مطالعه انتخاب می شود. اگر در این طرح، زیر نمونه در فاز دوم به صورت نمونه گیری تصادفی ساده بدون جایگذاری انتخاب گردد، این طرح، طرح نمونه گیری مضاعف طبقه بندی نشده^[۳۰] نامیده می شود.
برای درک بهتر طرح نمونه گیری مضاعف به شکل ۱-۳ توجه نمایید. در این شکل در ابتدا جامعه ی مورد نظر برای نمونه گیری مضاعف به ۴۰۰ واحد مربع شکل تقسیم شده است. در فاز اول یک نمونه اولیه ی تصادفی از متغیر کمکی شامل ۶۰ واحد مربع شکل از این جامعه به صورت تصادفی ساده گرفته می شود و در فاز دوم از این نمونه اولیه زیر نمونه ای به حجم ۲۰ واحد مربع شکل تیره بر اساس متغیر کمکی و مقادیر متناظر متغیر مورد مطالعه انتخاب شده است.

شکل ۱-۳ نمونه گیری مضاعف
طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی ^[۳۱]
درشرایطی که می خواهیم جامعه به زیر جامعه هایی (طبقات مختلف) تقسیم شود اما وزن طبقات قبل از شروع نمونه گیری مقادیر معلومی ندارند، طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی می تواند ایده ی مناسبی باشد؛ این طرح برای اولین بار توسط نیمن^[۳۲] ]۱۷[ در سال ۱۹۳۸ معرفی شده است. ایده اصلی طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی این است که ابتدا در فاز اول یک نمونه ی اولیه بزرگ از متغیرهای کمکی گرفته می شود و بر این اساس طبقات بدست می آیند. در فاز دوم، برای جمع آوری اطلاعات در مورد متغیر مورد مطالعه نمونه ای کوچک تر در این طبقات گرفته می شود.
از کاربردهای دیگر این طرح نمونه گیری، پایین آوردن اریبی ناشی از بی پاسخی ^[۳۳] است. در واقع، در نمونه گیری مضاعف لازم است ابتدا به جمع آوری داده های اولیه (مثلاً پرسشنامۀ پستی) بپردازیم، به دنبال آن، گروه بندی عناصر در دو طبقه صورت گرفته (مانند پاسخگویان به پرسشنامۀ پستی و بی پاسخ ها ) و سپس نمونه ای از افراد در یکی از طبقه ها انتخاب
می شود (مانند بی پاسخ های پرسشنامۀ پستی ) و برآوردگر نهایی، به صورت ترکیبی موزون از برآوردگرهای هر یک از دو طبقه بدست می آید.
فصل ۲
طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی
با استفاده ازیک اطلاع کمکی
۲-۱ مقدمه
از پیشرفت های عمده ای که اخیرا در بررسی های نمونه ای به چشم می خورد، استفاده از صفت کمکی x است که در ارتباط با متغیر مورد مطالعه y می باشد. استفاده از متغیر کمکی x در روش های مختلف برآوردیابی باعث افزایش دقت می شود. برای مثال در برآوردهای نسبتی و رگرسیونی نیاز به کسب اطلاعاتی در مورد میانگین جامعه ی متغیر کمکی x داریم. وقتی میانگین جامعه ی متغیر کمکی x معلوم باشد از یک نمونه گیری تصادفی ساده بدون جایگذاری و وقتی میانگین جامعه ی متغیر کمکی x مجهول باشد از روش نمونه گیری مضاعف استفاده می شود. به عبارت دیگر میانگین جامعه ی متغیر کمکی x از یک نمونه اولیه با حجم زیاد برآورد می شود به طوری که مشخصه ی کمکی x از پیش معلوم باشد و مقدار توسط مقدار برآورد آن جایگزین می شود. در این روش مقادیر x به آسانی در دسترس است و جمع آوری آن ها نسبت به مقادیر y هزینه کم تری دارد.
از جمله طرح های نمونه گیری که در عمل کاربرد گسترده ای دارد، طرح نمونه گیری طبقه ای است. این طرح زمانی کاربرد دارد که جامعه به چند بخش یا ناحیه افراز شده باشد که هر کدام از این بخش ها یک طبقه را مشخص می کند. از نتایج موثر طبقه بندی جامعه افزایش دقت در مرحله ی برآورد می باشد. علاوه بر این استنباط روی هر زیر جامعه ی دلخواه از جامعه بر اساس طرح نمونه گیری طبقه ای میسر خواهد شد. چنانچه برای طبقه بندی کردن جامعه بر اساس یک متغیر موثر، تا قبل از انتخاب نمونه نتوان طبقه ی مربوط به یک واحد مشخص از جامعه را تعیین نمود یا در برخی از موارد که انتخاب یک متغیر به عنوان طبقه بندی پس از جمع آوری اطلاعات انجام می پذیرد، نمونه گیری طبقه ای پسین پیشنهاد می گردد. یکی از طرح های نمونه گیری که برای طبقه بندی کردن مناسب می باشد، طرح نمونه گیری مضاعف است. در صورتی که حجم طبقات یا وزن آن ها نامعلوم باشد یا در واقع اطلاعات از متغیری که براساس آن طبقات تعیین می شوند به آسانی در دسترس نباشد و یا با گذشت زمان برخی از طبقات اطلاعات از دست داده و نیاز به بروز کردن نمونه داشته باشند می توان از این طرح استفاده کرد. طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی، در جنگل و منابع موجود در اکوسیستم های جنگلی کاربرد گسترده ای دارد. تئوری نمونه گیری مضاعف یا نمونه گیری دو فازی برای اولین بار توسط نیمن ]۱۷[ در سال ۱۹۳۸ معرفی شد. پس از آن رائو^[۳۴] ]۲۰[ در سال ۱۹۷۳ از این طرح نمونه گیری در بررسی بی پاسخی ها و مقایسه های تحلیلی استفاده کرد. کاکران ^[۳۵] ]۴[ در سال ۱۹۷۷ نیز برخی از نتایج اساسی طرح نمونه گیری مضاعف را در کتاب خود ارائه کرده است. ایگ و همکاران^[۳۶] ]۱۱[ در سال ۱۹۸۷ به ارائه برآوردگرهای مطلوب بر اساس طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی با بهره گرفتن از اطلاعات کمکی در فاز اول و فاز دوم پرداخته اند. همچنین سینگ و همکاران ^[۳۷] ]۳۲[ در سال ۲۰۰۷ کلاس بزرگی از برآوردگرهای میانگین جامعه را بر اساس این طرح نمونه گیری و بر اساس یک متغیر کمکی بدست آورده اند.
تعریف ۲ . ۱٫ نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی
طرح نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی در دو فاز صورت می گیرد. در فاز اول یک نمونه ی اولیه به حجم زیاد از متغیرهای کمکی گرفته شده و بر اساس آن طبقات شکل می گیرند و سپس در فاز دوم برای جمع آوری اطلاعات در مورد متغیر مورد مطالعه، از هر طبقه یک نمونه گرفته می شود. با توجه به این که میانگین صفت کمکی x، ، مجهول است، بهترین روش نمونه گیری استفاده از نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی است، زیرا بر اساس نمونه ی با حجم زیاد که در فاز اول گرفته شده است می توان پارامتر مجهول را برآورد نمود.
مثال۲٫۲٫۱ ( عمیدی ]۵۲[ )
فرض کنید اطلاعات مقدماتی نظیر جنسیت رای دهندگان برای طبقه بندی به آسانی به دست می آیند اما اطلاعات مفصل تر، مانند نظر سیاسی آن ها یا علت مخالفت آن ها با موضوع رای گیری به آسانی در اختیار نیست و نیاز به مصاحبه دارد. واضح است که انجام مصاحبه با همه رای دهندگان کاری وقت گیر و پر هزینه است.
فازهای نمونه گیری مضاعف برای طبقه بندی DSS

• • فاز اول : برای مشخص کردن جنسیت رای دهندگان نمونه ای بزرگ انتخاب می کنیم.

• • فاز دوم : برای تکمیل اطلاعات به تصادف با تعدادی از افراد انتخاب شده مصاحبه
    می نماییم.

۲-۲ پارامترهای جامعه و طبقات
فرض کنید یک جامعه متناهی به حجم داشته باشید. متغیر مورد مطالعه Y و متغیر کمکی X می باشند.
میانگین متغیر مورد مطالعه Y و متغیر کمکی X در طبقه ی h ام را به ترتیب با نماد های و نمایش داده و از فرمول های زیر بدست می آیند: