شکل شماره۲-۲ : مرز بندی یک دامنه دلخواه برای معادله شماره (۲-۱۹)

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۲-۲۰
۲-۲۱
حال انتگرال باقی مانده وزنی در دو حالت زیر نوشته می­ شود. برای حالت اول این رابطه به شکل معادله (۲-۲۲) در می ­آید.
۲-۲۲
با انتگرال­گیری جزء به جزء از رابطه (۲-۲۲) با بهره گرفتن از قضیه دوم گرین(قضیه دیورژانس) و ساده سازی عبارت بدست آمده رابطه زیر بدست می ­آید.
۲-۲۳
حال با توجه به رابطه بین ترکشن­ها و تنش­ها که
۲-۲۴
و از طرفی با توجه به اینکه  و
۲-۲۵
در نتیجه رابطه ۲-۵۶ با جایگذاری روابط بالا به صورت زیر در می ­آید
۲-۲۶
بار دیگر روش بالا برای یک حالت ثانویه به شکل زیر تکرار می­ شود. برای این حالت معادله تعادل به صورت رابطه (۲-۲۷) می­باشد.
۲-۲۷
و رابطه (۲-۲۸) حاصل انتکرال­گیری جزء به جزء انجام شده می­باشد.
۲-۲۸
از تفریق دو رابطه (۲-۲۸) و (۲-۲۶) رابطه (۲-۲۹) حاصل می­ شود.
۲-۲۹
مطابق با قضیه کار مجازی معکوس بتی^[۳۱]
۲-۳۰
با بهره گرفتن از این قضیه و اینکه  می­باشد، رابطه (۲-۲۹) به شکل زیر ساده می شود.
۲-۳۱
همان طور که مشخص است در معادله فوق جملات سمت راست بیانگر انتگرال روی مرز جسم و جملات سمت چپ بیانگر انتگرال روی دامنه می­باشند..
حال برای این که شکل معکوس انتگرال باقیمانده وزنی که اساس کار روش المان مرزی می­باشد معلوم گردد، فرض می­ شود که مرز جسم به دو بخش  و  تقسیم گردد که به ترتیب شرایط مرزی ذکر شده در معادلات (۲-۲۰) و (۲-۲۱) بر روی آن­ها تعریف گردیده شده باشد. بنابراین معادله (۲-۳۱) را می­توان به صورت زیر نوشت.
۲-۳۲
حال با نوشتن حل­های اساسی به صورت زیر:
۲-۳۳
۲-۳۴
و استفاده از خواص تابع دلتای دیراک می­توان انتگرال اول رابطه (۲-۳۲) را به صورت زیر نوشت:
۲-۳۵
با جایگذاری این رابطه در معادله (۲-۳۲) و ادغام مرزها (  ) رابطه (۲-۳۶) به صورت زیر نوشته می­ شود.
۲-۳۶
رابطه(۲-۳۶) شکل معکوس انتگرال باقیمانده وزنی است که اساس کار روش المان مرزی برای حل مستقیم معادله الاستیسیته می­باشد.
با بهره گرفتن از معادله (۲-۳۶) می­توان مقدار تغییر مکان را در هر نقطه داخلی به دست آورد، مشروط بر آن که مقادیر  و  در هر نقطه مرزی معلوم باشند، یعنی این اطلاعات قبلاً روی مرز مشخص باشند. از آنجا که این معادله برای هر نقطه داخل دامنه Ω از جمله مرز Γ معتبر است، می­توان با بهره گرفتن از آن یک رابطه انتگرال مرزی برای محاسبه مقادیر مرزی به دست آورد. برای این کار یک ناحیه نیم کروی به مرکز i که بر روی مرز قرار دارد و به شعاع ε درنظر گرفته  می­ شود را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که چگونگی انجام این فرایند را نشان می­دهد.
شکل شماره۲-۳: نحوه برقراری ارتباط بین یک گره روی مرز با سایر گره­های مرزی]۱[
اگر مرز ناحیه هموار باشد، می توان فرض کرد که شعاع (ε) به سمت صفر میل می­ کند. چنانچه سطح این نیم کره با Γ_ε مشخص شود، انتگرال­های سمت راست معادله (۲-۳۶) به صورت زیر در خواهد آمد.
۲-۳۷
هنگامی که ε به سمت صفر میل می­ کند، اولین انتگرال سمت راست به یک انتگرال برای تمام سطح ناحیه یعنی Γ تبدیل خواهد شد. حال از روابط (۲-۱۲) و (۲-۱۳) می­توان مشاهده کرد که  متناسب است با  و در نتیجه متناسب است با  ، از طرفی  نیز متناسب است با  ، بنابراین دومین انتگرال سمت راست جملاتی از  تولید می­ کند که در حد، هنگامی که ε به سمت صفر میل می­ کند، این انتگرال به صفر میل خواهد کرد. این بدان مفهوم است که این انتگرال در نقطه i منفرد نخواهد شد.
انتگرال سمت چپ در معادله (۲-۳۶) نیز به صورت زیر نوشته می­ شود.
۲-۳۸
حد انتگرال دوم در سمت راست معادله فوق برابر است با
۲-۳۹
با توجه به حل اساسی ترکشن، یعنی روابط (۲-۱۶) و (۲-۱۷) می­توان ملاحظه نمود که این پاسخ متناسب با  می­باشد. بنابراین انتگرال روی سطح  بر خلاف  ، از محاسبات حذف نگردیده و در هنگامی که ε به سمت صفر میل می­ کند برابر یک می­ شود. با قرار دادن  از روابط (۲-۱۶) و (۲-۱۷) و سپس انتگرال­گیری بر روی  رابطه زیر به دست می ­آید.
۲-۴۰
با جایگذاری این روابط در معادله (۲-۲۹) رابطه زیر برای نقاط مرزی به صورت زیر محاسبه می­ شود.
۲-۴۱
همان طور که مشخص است رابطه فوق جا به ­جایی هر نقطه مانند i را بر حسب انتگرال­های مرزی موجود در رابطه (۲-۳۴) محاسبه می­ کند. برای حل عددی معادله انتگرالی (۲-۳۴) مرز دامنه به یک مجموعه ­ای از المان­های مرزی تقسیم می­ شود، که مقدار تغییر مکان و ترکشن در آنها برحسب مقادیر گرهی تعیین می­گردد. برای این منظور ابتدا جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها به صورت ماتریسی برای هر المان به شکل زیر نوشته می­شوند.
۲-۴۲
۲-۴۳
در روابط بالا  و  مقدار جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها را در گره المان­ها مشخص می­ کند. اگر Q بیانگر تعداد گره­های موجود در هر المان باشد، ابعاد ماتریس­های  و  در حالت سه بعدی برابر ×Q3 و برای حالت دو بعدی برابر Q×۲ است و ماتریس­های u و p بیانگر جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها در هر نقطه از المان یعنی  هستند. ماتریس Φ ، ماتریس توابع درون­یاب است. در روش المان­های مرزی مانند روش اجزای محدود شکل المان، مقدار جا به ­جایی­ها و ترکشن­ها در یک المان با بهره گرفتن از توابع شکل^[۳۲] در مقادیر گرهی درون یابی می­ شود. اگر این چند جمله­ای درون­یاب بیانگر توزیع سهموی این مقادیر باشد، المان مورد بررسی سهمی شکل خوانده می­ شود. شکل­های زیر، المان­های سهمی شکل در حالت­های دو بعدی و سه بعدی را نشان می­دهد.
شکل شماره ۲-۴ : المان­های سهمی برای مسائل دو بعدی
شکل شماره ۲-۵ : المان­های سهمی برای مسائل سه بعدی
در روش المان­های مرزی چون مرزهای یک جسم مش زده می­ شود، مسائل سه بعدی تبدیل به مسائل دو بعدی و مسائل دو بعدی تبدیل به مسائل یک بعدی می­شوند و این خود یکی از امتیازهای روش المان­های مرزی می­باشد، چرا که باعث ساده سازی روند حل معادلات می­گردد. همان­طور که گفته شد در این پژوهش از المان­های سهمی شکل استفاده گردیده است. در مسائل دو بعدی با توجه به وجود سه گره در هر المان توابع درون یاب به صورت زیر می­باشند.
۲-۴۴
۲-۴۵