در این تئوری فرض قابل صرف نظر کردن از کرنش های برشی جانبی و اینرسی دورانی دیگر معتبر نمی باشد و این تفاوت اصلی تئوری تیر تیموشینکو با تئوری تیر اویلر-برنولی میباشد . در واقع در تئوری تیر تیموشینکو،شکل (۳-۲) تحلیل ها و نتایج از دقت بیشتری برخوردار می باشند.
شکل۳-۲: مدل تیر تیموشینکو
با در نظر گرفتن تئوری حاضر مولفه ی کرنش نرمال و کرنش برشی وجود دارد و مولفه کرنش نرمال صفر می باشد. همچنین مؤلفه های جابجایی u بصورت توابعی خطی نسبت به z فرض گردیده و مولفه w مستقل از z در نظر گرفته می شود . میدان جابه جایی بصورت زیر نوشته می شود :
(۳-۲)
در رابطه فوق زاویه دوران حول محور y میباشد.
حال تأثیر نانو را با بهره گرفتن از قانون اختلاط در معادلات اعمال می کنیم.
۳-۳- قانون اختلاط
فرض میکنیم تیر کامپوزیتی که با نانولوله کربنی به صورت یکنواخت در راستای مختصات x تقویت شده است، از یک مخلوط نانولوله کربنی تک جداره و زمینهای که ارتوتروپیک فرض می شود، ساخته شده است. مسئله اصلی تعیین خواص مادی مؤثر مربوط به تابعی مدرج تقویت شده بانانولوله کربنی میباشد.بر حسب یک مدل میکرو مکانیکی، میتوان خواص مادی مؤثر را با بهره گرفتن از مدل موری- تاناکا یا قانون مخلوطها تخمین زد. مدل موری - تاناکا قابل کاربرد به ذرات نانو میباشد و قانون اختلاط برای پیش بینی تمامی خواص مادی سازه،ساده و مناسب میباشد. بر طبق قانون اختلاط ، مدولهای یانگ و مدولهای برشی را میتوان به صورت زیر بیان کرد [۱۲] :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(۳-۳)
که ، و به ترتیب مدولهای یانگ و برشی نانولوله کربنی میباشد، و خواص متناظر مربوط به زمینه میباشند.
پارامتر کارایی نانولوله کربنی میباشد که با تطابق مدولهای الاستیسیته بدست آمده از نتایج شبیه سازی دینامیک مولکولی و قانون مخلوطها، تعیین میشود.
، کسرهای حجمی نانولوله کربنی و زمینه میباشند که با رابطه زیر به یکدیگر مرتبط
میشوند:
(۳-۴)
کسر حجمی را بصورت زیر فرض میکنیم:
(۳-۵ )
که
(۳-۶)
که کسر جرمی نانولوله می باشد. برای حالت توزیع یکنواخت نانولوله ها می باشد.
نسبت پواسون را میتوان به این صورت محاسبه کرد :
(۳-۷)
۳-۴ کرنشهای نرمال و برشی
روابط کرنش گرین-لاگرانژ بصورت زیر می باشد :
(۳-۸)
با بهره گرفتن از روابط کرنش- جا به جایی فوق و فرضیات ون-کارمن برای تیر ، کرنشهای نرمال و برشی به فاصله z از صفحه میانی تیر به صورت زیر می باشند.
(۳-۹)
کرنش های فوق را بصورت زیر می توان دسته بندی کرد :
(۳-۱۰)
در روابط فوق معرف کرنش نرمال و نشان دهنده انحنا میباشند.
۳-۵ – معادلات تعادل تیر اویلر-برنولی
۳-۵-۱- مقدمه
در رفتار خطی یک ماده، تغییر شکل متناسب با میزان بارگذاری می باشد. بنابراین با توجه به اینکه درمرحله کمانش رفتار سازه به گونه ای است که با افزایش بار به میزان کمی، تغییر مکان در سازه به میزان زیادی افزایش مییابد، این پدیده قبل از آنکه در مکانیک خطی جایی داشته باشد، در مکانیک غیر خطی اهمیت بسیاری پیدا می کند. با این مقدمه به راحتی میتوان در بخش بعدی فلسفه کرنشهای غیر خطی در اجسام قابل تغییر شکل، مانند تیر را بیان نمود.
با بهره گرفتن از رابطه میدان جا به جایی تیر اویلر-برنولی روابط غیر خطی کرنش، انحنا و پیچش صفحه میانی بر حسب مؤلفه های تغییر مکان برای تیر کامپوزیتی اویلر-برنولی به صورت زیر می باشد.
(۳-۱۱)
رابطه تنش – کرنش در حالت تنش صفحهای برای مواد ارتوترپیک به صورت زیرمی باشد:
(۳-۱۲)
که تنش ها بصورت زیر تعریف می شوند.
(۳-۱۳)
